Глаголы empezar и comenzar – синонимы, их значения ничем не отличаются. Они могут означать как "начинать что-либо", так и "начинаться":
Las clases empiezan a las 9 – Занятия начинаются в 9
Empiezo a trabajar a las 10 – Я начинаю работать в 10
Однако есть разница в их употреблении: в Испании в разговорной речи предпочитают глагол empezar, а comenzar используют в письменной речи. Во многих странах Латинской Америке, напротив, comenzar активно употребляется и в разговорной речи.
Глагол iniciar встречается реже, как правило, в научном или политическом дискурсе, и может означать "пускать в ход":
iniciar negociaciones, medidas, acciones, una huelga…– начинать (пускать в ход) переговоры, меры, действия, забастовку
В этом случае глагол empezar использовать нельзя:
CORRECTO: El gobierno va a iniciar unas medidas – Правительство примет новые меры
INCORRECTO: El gobierno va a *empezarunas medidas
Зато в отличие от empezar и comenzar этот глагол не может описывать привычное действие:
CORRECTO: Mi padre empieza el trabajo a las 10
INCORRECTO: Mi padre *iniciael trabajo a las 10
С глаголами empezar и comenzar и инфинитивом образуются конструкции, обозначающие начало нового действия:
Iker Casillas empezó a jugar en el Real Madrid en 1990 (=comenzó a jugar) – Икер Касильяс начал играть в Реале в 1990 году
Конструкция ponerse a + infinitivo означает то же самое с небольшой разницей: она описывает спонтанное, необдуманное действие.
La niña se dio un golpe y se puso a llorar (=empezó a llorar de repente) – Девочка стукнулась и расплакалась