Darse cuenta significa fijarse en algo, o ver, notar, descubrir algo de repente. Es el equivalente del inglés to realize:
A la hora de pagar, me he dado cuenta de que no llevaba la cartera (=he visto, he descubierto)
– ¿Por qué has dejado la puerta abierta? – Uy, no me he dado cuenta. (=no me he fijado, no le he prestado atención)
Este verbo se usa mucho.
Notar significa lo mismo, pero normalmente como resultado de una (larga) observación:
He notado que mi madre ha cambiado
Noto una molestia en el estómago
El segundo ejemplo es especialmente típico: notamos distintos malestares físicos.
Notar no se puede usar con determinados términos abstractos: *notó la situación, *notó la equivocación… (se debe decir se dio cuenta/se percató de la situación)
Percatarse también significa lo mismo, pero se usa poco, especialmente en el registro más culto:
Los científicos se percataron (=se dieron cuenta) de su error