Lo que une los tres verbos es la idea del esfuerzo que hay que hacer.
Los verbos lograr y conseguir + infinitivo significan “cumplir, alcanzar el objetivo” y son sinónimos. En España se prefiere conseguir, el verbo lograr suena demasiado culto, y se usa sólo en un registro formal. En América Latina, en cambio, se usa más lograr.
¿Has conseguido arreglar el ordenador? (España) = ¿Has logrado arreglar el ordenador? (América Latina) = ¿Has podido arreglar el ordenador?
El verbo conseguir puede usarse también con sustantivos, en este caso, significa “obtener con esfuerzo”:
He conseguido tres entradas para la ópera = He comprado, con muchas dificultades, tres entradas
El verbo alcanzar normalmente indica un movimiento físico hacia un objeto que supone un esfuerzo. En España se usa cada vez menos, se prefiere llegar a:
No puedo alcanzar la bombilla, ¿me ayudas? (América Latina) = No llego a la bombilla, ¿me ayudas? (España)
También en América Latina se usa en el sentido de pasarle algo a alguien:
¿Me alcanzas la sal, por favor? (América Latina) = ¿Me pasas la sal, por favor?
Sin embargo, también puede usarse con determinados sustantivos que suponen el final de un camino: meta, objetivo, éxito, fama… Si había un esfuerzo, es sinónimo de lograr y conseguir. Si era un proceso natural (por ejemplo, con palabras como edad, mayoría de edad,...), sólo se puede usar alcanzar.