Sinónimos

Los tres adjetivos describen un estado de ánimo positivo y corresponden a la palabra inglesa happy. Pero hay diferencias:

Soy feliz = Mi vida es perfecta
Estoy feliz = Este momento de mi vida es perfecto

Soy contento : INCORRECTO
Estoy contento = Todo va bien o ha pasado algo bueno, y disfruto con ello

Soy alegre = Soy una persona positiva. Sé disfrutar de la vida
Estoy alegre = Estoy animado, tengo ganas de reír y hacer bromas

Lo contrario de ser feliz es ser desgraciado.
Lo contrario de estar feliz es estar deprimido o infeliz.
Lo contrario de alegre es triste.
Lo contrario de contento es triste o descontento.

Según la intensidad podríamos ordenar así los adjetivos: feliz >> alegre >> contento.

¡Hoy estoy feliz! = Todo va perfecto. Satisfacción total y plena
¡Hoy estoy alegre! = No todo va perfecto, pero algo muy especial me hace sonreír
¡Hoy estoy contento! = Estoy mejor de lo normal

Podemos modificar estos adjetivos con intensificadores (muy, bastante,...):

Me han regalado un libro y estoy bastante contento
Me han regalado un coche y estoy muy contento
Me han regalado una casa y estoy loco de contento

Con feliz se usan especialmente los intensificadores totalmente, completamente:

SUENA BIEN: Estoy completamente feliz

NO SUENA BIEN: *Estoy completamente contenta

El adjetivo contento sólamente se usa con personas. El adjetivo alegre sí se usa con sustantivos que no son personas (la casa, la ciudad, la noticia, el color, la música…). Significa que transmite alegría y buenas emociones:

CORRECTO: El color de esta habitación es muy alegre = transmite alegría, es agradable estar en esta habitación
INCORRECTO: El color de esta habitación habitación es muy *feliz
INCORRECTO: El color de esta habitación habitación es muy *contento

El adjetivo feliz se puede usar con lugares donde vive gente y momentos de nuestra vida:

Es un país feliz = es un país donde todos son felices
Ayer fue un día muy feliz = ayer me sentí feliz
Esta película tiene un final feliz = al final todo acaba muy bien

La palabra feliz se usa especialmente para felicitar a la gente con motivo de una fiesta:

¡Feliz Navidad!
¡Felices fiestas!

Recuerda también:

contento / feliz + con + situación
Está feliz con su trabajo

contento / feliz + de + verbo
Estamos contentos de verte

contento / feliz + por + persona
Estoy contenta por ti

alegre + nada
Estoy alegre ____