Los verbos empezar y comenzar son sinónimos: significan exactamente lo mismo. La diferencia está en el uso: en España preferimos usar el verbo empezar, dejando comenzar para textos literarios. En cambio, en América Latina el verbo comenzar puede usarse en cualquier situación.
El verbo iniciar es más culto, y se usa especialmente en el lenguaje político: iniciar negociaciones, una huelga…
Con las palabras que significan acciones equivale a "poner en marcha", y entonces ya el uso de empezar es incorrecto:
CORRECTO: El gobierno va a iniciar unas medidas
INCORRECTO: El gobierno va a *empezarunas medidas
A diferencia de empezar y comenzar este verbo describe una nueva acción, no una rutinaria:
CORRECTO: Mi padre empieza el trabajo a las 10
INCORRECTO: Mi padre *iniciael trabajo a las 10
Tanto empezar como comenzar forman construcciones con el infinitivo:
Iker Casillas empezó a jugar en el Real Madrid en 1990 (=comenzó a jugar)
La construcción ponerse a + infinitivo significa lo mismo, pero con un matiz: ocurre de repente, sin pensarlo mucho:
La niña se dio un golpe y se puso a llorar (=empezó a llorar de repente)